大数定理的英文是，它的中文翻译通常是“大数定律”而不是大数定理。但俺却偏要叫它大数定理！
定律或是英文里的law都是指不需要证明但可以被验证的理论假设。比如牛顿的万有引力定律。从数学上说，不需要证明就被接受的假设被认为是公理。但是这个大数定理并非公理，它是被严格证明出来的（证明也不复杂，只要用马尔可夫不等式或切比晒夫不等式就行了），因此准确的数学语言应该叫它“定理”。管他叫“定律”会让人以为这个东东就是假设出来的公理，从而产生歧义，当年也不知道谁这么没涵养管它叫“law”。所以，不管你们服不服，俺都要管它叫大数定理。
大数定理大概说了这样一个意思。假设有某个随机实验会产生一个随机变量X。如果你重复做这个随机实验n次，你就会得到一个随机变量序列X1，X2，X3，…，Xn。这里假定这些随机变量相互独立（即这些随机实验互不影响）而且n是个很大的数（比如，一万，十万，百万），那么把这n个数加起来除以n（即取平均），得到的数（即(X1+X2+…+Xn)/n）几乎总是很接近随机变量X的均值。同学们注意一下俺这里“几乎总是”和“很接近”的用词哈。虽然俺是个马虎的人，这里的遣词造句是极其考究，极负责任，极具情怀的。
咱们用老千掷硬币的例子先看看大数定理到底说了些啥子嘛。假设那个老千掷了n次硬币，那么他就得到了n个在{0，1}里取值的数。因为这n个数都是随机的，这n个数的均值当然也是个随机变量，就是说也有一个概率分布函数，有一定的不确定性。大数定理告诉俺们，当n很大的时候，这n个数的平均值“几乎总是很接近”1/3。“几乎总是”和“很接近”是可以在数学上严格定义的，不过当俺讲完它们的定义的时候，估保守，但俺码字已经快要吐血，正在后悔俺为什么要揽下这么个差事，所以就随便套了一下切比晒夫不等式得出下面这些“至少有”的结论）：
当n=1000时，www.youxs.org。
当n=10000时，www.youxs.org。
当n=100000时，www.youxs.org。
如果把“很接近1/3”理解为跟1/www.youxs.org，那么：
当n=1000时，www.youxs.org。
当n=10000时，www.youxs.org。
当n=100000时，www.youxs.org。
当n=1000000时，www.youxs.org。
现在展开你想象的翅膀，你应该看到当n变成无穷大的时候，这个平均值就不再是“几乎总是很接近1/3”，而是“就是1/3”了！
至此同学们可能已经体会出俺极其考究、极负责任的“几乎总是很接近”了吧。这里的情怀还是让俺带你们领略一下吧。老千掷出的序列当然是随机的、不确定的、没有规律的。这个序列的平均数虽然也在1/3周围随机跳动，但却随着n的增大越发确定起来。当n很小、她就在你跟前的时候，变化多端、捉摸不定的她让你无法看清；当n增大的时候，她渐行渐远，但她在风中颤动的身影却在你记忆的相机里慢慢聚焦，越来越清晰；直到她消逝在无限的远方，她竟定格成一幅永恒而又无比真切的画面......
学霸们可能会觉得俺太矫情了：不就一个简单的大数定理吗，有必要这么忽悠吗？其实俺也觉得自己有些矫情。但看完本文之后，俺请你再回头体会一下大数定理的情怀。
【在阅读模式下不能自动加载下一页，请<退出阅读模式>后点击下一页阅读。】